Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [2，+∞）
• C． [-2，-1）∪[2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪（1，2）

Answer 1

分析 分别就函数为增和减，可得a的不等式组，解不等式组综合可得．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{1≥（a-1）{e}^{0}}\end{array}\right.$，解不等式组可得1＜a≤2；
若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是单调递减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a-1＜0}\\{1≤（a-1）{e}^{0}}\end{array}\right.$，解不等式组可得∅；
综上可得实数a的取值范围为（1，2]，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的单调性，涉及不等式组的解集，属中档题．