Question

18．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是四边长为$\sqrt{2}$的菱形，$∠ABC=\frac{π}{4}，OA⊥$底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：平面OAC⊥平面OBD；
（2）求平面BMN与平面OAD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能证明平面OAC⊥平面OBD．
（2）求出平面BMN的法向量和平面OAD的法向量，利用向量法能求出平面BMN与平面OAD所成锐二面角．

解答 证明：（1）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
则O（0，0，2），A（0，0，0），C（1，$\sqrt{2}-1$，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（1，-1，0），
$\overrightarrow{AO}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{2}-1$，0），$\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{2}，0，-2$），$\overrightarrow{OD}$=（1，-1，-2），
设平面OAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+（\sqrt{2}-1）y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}-1$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}-1$，-1，0），
设平面OBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}a-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OD}=a-b-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-2$，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）+（\sqrt{2}-2）•（-1）+1•0$=0，
∴平面OAC⊥平面OBD．
解：（2）M（0，0，1），N（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，0），
$\overrightarrow{BM}$=（$-\sqrt{2}，0$，1），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，-1，0），
设平面BMN的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{BM}=-\sqrt{2}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{BN}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{2}-1}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，2），
设平面OAD的法向量$\overrightarrow{q}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{AO}=2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{AD}={x}_{2}-{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{q}$=（1，1，0），
设平面BMN与平面OAD所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{8}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$θ=\frac{π}{4}$．
∴平面BMN与平面OAD所成锐二面角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．