Question

（2011•自贡三模）设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，|

ON

|=6，|

ON

=

5

•

OM

，过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁丄x轴于点N₁，

OT

=

MM1

+

NN1

，记点R的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）已知直线L与双曲线C₁：5x²-y²=36的右支相交于P、Q两点（其中点P在第一象限），线段OP交轨迹C于A，若

OP

=3

OA

，
S_△PAQ=-26tan∠PAQ，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0），由题意可

OM

=

1

5

ON

=（

1

5

x₁，

1

5

y₁），从而可求M₁（0，

1

5

y₁）由

OT

=

M1M

+

N1N

，利用向量的坐标表示可得．

x1= 5 x y1=y

代入|

ON

|=6可求曲线方程
（Ⅱ）设A（m，n），由

OP

=3

OA

及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0及A∈C，P∈C₁可得5m²+n²=36，5m²-n²=4可求A，P，设Q（x，y）则5x²-y²=36．及S=-26tan∠PAQ可求点Q，由P，Q得直线l的方程

解答：解：（Ⅰ）设T（x，y），点N（x₁，y₁），则N₁（x₁，0）．
又

ON

=

5

OM

，即

OM

=

1

5

ON

=（

1

5

x₁，

1

5

y₁），
∴M₁（0，

1

5

y₁），

M1M

=（

1

5

x₁，0），

N1N

=（0，y₁）．　　　　　　　（3分）
于是

OT

=

M1M

+

N1N

=（

1

5

x₁，y₁），（4分）
即（x，y）=（

1

5

x₁，y₁）．

x1= 5 x y1=y

代入|

ON

|=6，得5x²+y²=36．
所求曲线C的轨迹方程为5x²+y²=36．（6分）
（Ⅱ）设A（m，n）由

OP

=3

OA

及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0
∵A∈C，P∈C₁∴5m²+n²=36，5m²-n²=4解得m=2，n=4
即A（2，4），P（6，12）（8分），
设Q（x，y）则5x²-y²=36．①
由S=-26tan∠PAQ得，

1

2

AP•AQsin∠PAQ=-26tan∠PAQ

AQ

•

AP

=4(x-2)+8(y-4)=-52，即x+2y+3=0．②（10分）
联立①，②，解得

x=- 51 19 y=- 3 19

或

x=3 y=-3

因点Q在双曲线C₁的右支，
故点Q的坐标为（3，-3）（11分）
由P（6，12），Q（3，-3）得直线l的方程为即5x-y-18=0（12分）

点评：本题主要考查了利用向量的基本运算为载体，考查圆锥曲线的方程的求解及直线与曲线相交求解交点的问题，解题的关键是要熟练应用向量的基本运算，及较强的计算推理的能力．