Question

已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，则O是△ABC的（　　）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心

Answer 1

分析：先将a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

转化成

AO

=

b

a+b+c

AB

+

c

a+b+c

AC

，记

AB

=c

n1

，

AC

=b

n2

，其中

n1

、

n2

分别表示

AB

、

AC

方向上的单位向量，从而可得结论．

解答：解：∵

OB

=

AB

-

AO

，

OC

=

AC

-

AO

∴a

OA

+b

OB

+c

OC

=a

OA

+b（

AB

-

AO

）+c（

AC

-

AO

）
=b

AB

+c

AC

-（a+b+c）

AO

而 a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴（a+b+c）

AO

=b

AB

+c

AC

即

AO

=

b

a+b+c

AB

+

c

a+b+c

AC

记

AB

=c

n1

，

AC

=b

n2

，其中

n1

、

n2

分别表示

AB

、

AC

方向上的单位向量
则

AO

=

bc

a+b+c

（

n1

+

n2

）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选D．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的基本运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．