【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)求证: ;
(3)求证:当时,
,
恒成立.
【答案】(1)当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)求函数的导数,对
讨论,分当
时,当
时,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;
(2) 令,由(1)可知,函数
的最小值为
,不等式得证;
(3)构造函数,证明其最小值大于等于0即可.
试题解析:(1),
(ⅰ)当时,
,函数
在
上单调递增;
(ⅱ)当时,令
,则
,
当,即
时,函数
单调递增;
当,即
时,函数
单调递减.
综上,当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)证明:令,由(1)可知,函数
的最小值为
,∴
,即
.
(3)证明: 恒成立与
恒成立等价,
令,即
,则
,
当时,
(或令
,则
在
上递增,∴
,∴
在
上递增,∴
,∴
)
∴在区间
上单调递增,
∴,
∴恒成立.
点晴:本题主要考查函数单调性,不等式恒成立,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
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【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(3)设为坐标原点,取
上不同于
的点
,以
为直径作圆与
相交另外一点
,求该圆面积的最小值时点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地政府调查了工薪阶层人的月工资收人,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图,其中工资收人分组区间是
.(单位:百元)
(1)为了了解工薪阶层对工资收人的满意程度,要用分层抽样的方法从调查的人中抽取
人做电话询问,求月工资收人在
内应抽取的人数;
(2)根据频率分布直方图估计这人的平均月工资为多少元.
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【题目】经统计,某医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下:
排除人数 | 0--5 | 6--10 | 11--15 | 16--20 | 21--25 | 25人以上 |
概率 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
(1)求每天超过20人排队结算的概率;
(2)求2天中,恰有1天出现超过20人排队结算的概率.
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【题目】为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响,某农科所记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数,得到如下资料:
组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求出线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是第1组与第5组的两组数据,请根据第2组至第4组的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:,
)
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【题目】A已知直线的参数方程为
(
为参数),在直角坐标系
中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的方程为
(1)求圆的圆心
的极坐标;
(2)判断直线与圆
的位置关系.
已知不等式
的解集为
(1)求实数的值;
(2)若不等式对
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)设,
是曲线
图象上的两个相异的点,若直线
的斜率
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)设函数有两个极值点
,
且
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】若函数定义域为
,且对任意实数
,有
,则称
为“
形函数”,若函数
定义域为
,函数
对任意
恒成立,且对任意实数
,有
,则称为“对数
形函数” .
(1)试判断函数是否为“
形函数”,并说明理由;
(2)若是“对数
形函数”,求实数
的取值范围;
(3)若是“
形函数”,且满足对任意
,有
,问
是否为“对数
形函数”?证明你的结论.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程.
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线
截得的弦长.
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