Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），判断f′（x）的符号从而证出f（x）总是增函数；
（2）由f（x）为奇函数知，f（-x）=-f（x），所以分别求出f（-x），-f（x）带入并整理可求得a=

1

2

；
（3）f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，由2^x+1＞1即可求出f（x）的范围，即f（x）的值域．

解答： 解：（1）证明：f′（x）=

2xln2

(2x+1)2

＞0；
所以不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即 a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，解得：a=

1

2

． 
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

； 
（3）由（2）知 f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1；
∴-1＜-

1

2x+1

＜0；
∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
所以f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．

点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的定义，以及指数函数的值域．