A. | 10($\sqrt{3}$-1) | B. | 10($\sqrt{2}$+1) | C. | 10($\sqrt{2}$-1) | D. | 10($\sqrt{3}$+1) |
分析 由已知条件求出直线AB的方程5x+4y-20=0,求出|AB|,设C(4cosα,5sinα),0<α<$\frac{π}{2}$,点C到直线AB的距离d,表示三角形的面积,求出△ABC的面积的最大值.
解答 解:直线AB的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$,整理,得:5x+4y-20=0,
|AB|=$\sqrt{16+25}$=$\sqrt{41}$,
∵C椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1上第一象限上的一点,
∴设C(4cosα,5sinα),0<α<$\frac{π}{2}$,
点C到直线AB的距离d=$\frac{|20cosα+20sinα-20|}{\sqrt{41}}$=$\frac{|20\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})-20|}{\sqrt{41}}$,
∴当α=$\frac{π}{4}$时,dmax=$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$,
∴△ABC的面积的最大值:
Smax=$\frac{1}{2}$|AB|•dmax
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{41}$×$\frac{|20\sqrt{2}-20|}{\sqrt{41}}$=10$\sqrt{2}$-10.
故选:C.
点评 本题考查三角形的面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=a2 | B. | $\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0 | C. | $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\sqrt{2}$a2 | D. | $\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=a2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 相交 | B. | 相切 | C. | 相离 | D. | 无法确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 22 | B. | 24 | C. | 26 | D. | 28 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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