Question

试求使不等式对一切正整数n都成立的最小自然数t的值，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

解：设
∵===
∴f（n）递增，∴f（n）最小为
∵f（n）＞5-2t对一切正整数n都成立，∴，∴自然数t≥2
∴自然数t的最小值为2 …（7分）
下面用数学归纳法证明
（1）当n=1时，左边=，∴n=1时成立
（2）假设当n=k时成立，即
那么当n=k+1时，左边===
∴n=k+1时也成立
根据（1）（2）可知成立 …（14分）
注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t的最小值为2
分析：设，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在用数学归纳法加以证明．
点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．