Question

【题目】在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA1D1D；
（3）证明：EF⊥平面A1CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），

∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1）， =（﹣1，0，1），

∴| |= =

（2）证明：∵ =（﹣2，0，2）=2 ，∴EF∥AD1，

又AD1平面AA1D1D，EF平面AA1D1D，

∴EF∥平面AA1D1D

（3）证明： =（0，﹣2，0）， =（﹣2，0，﹣2），

∵ =0， =0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D=D，

∴EF⊥平面A1CD

【解析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量 的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出 的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD1 ， 再利用线面平行的判定定理证明；（3）利用 =0， =0，可证直线EF垂直于CD、A1D，再利用线面垂直的判定定理证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．