Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个球，其最大半径为r，若该直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1，AA1=

1

2

，AB=

2

，则r+R=

 

．

Answer 1

分析：由题中条件知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三条相邻的棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

解答：解：由题意知，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三条相邻的棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=

12+( 1 2 )2+12

=

3

2

它的外接球半径R是：R=

3

4

又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个球，其最大半径为r
故AA₁=2r=

1

2

，r=

1

4

∴R+r=1
故答案为：1．

点评：本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的内接长方体沟通条件之间的联系．是基础题．