(本题满分15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).
(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.
(1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)
∴Sn=n2(Sn-Sn-1),∴Sn=Sn-1(n≥2)
∵a1=1,∴S1=a1=1.
∴S2=,S3=
=
,S4=
,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想Sn=(n∈N*).
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
(2)证明 ①当n=1时,S1=1成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即Sk=,
当n=k+1时,
Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+,
∴ak+1=,
∴Sk+1=(k+1)2·ak+1==
,
∴n=k+1时等式也成立,得证.
∴根据①、②可知,对于任意n∈N*,等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵ak+1=,∴an=
.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分
【解析】略
科目:高中数学 来源:2010-2011年江苏省如皋市五校高二下学期期中考试理科数学 题型:解答题
((本题满分15分)
某有奖销售将商品的售价提高120元后允许顾客有3次抽奖的机会,每次抽奖的方法是在已经设置并打开了程序的电脑上按“Enter”键,电脑将随机产生一个 1~6的整数数作为号码,若该号码是3的倍数则顾客获奖,每次中奖的奖金为100元,运用所学的知识说明这样的活动对商家是否有利。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省招生适应性考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分15分)设函数.
(Ⅰ)若函数在
上单调递增,在
上单调递减,求实数
的最大值;
(Ⅱ)若对任意的
,
都成立,求实数
的取值范围.
注:为自然对数的底数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期初摸底文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线与曲线
相切
1)求b的值;
2)若方程在
上恰有两个不等的实数根
,求
①m的取值范围;
②比较的大小
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期中考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知抛物线:
(
),焦点为
,直线
交抛物线
于
、
两点,
是线段
的中点,
过作
轴的垂线交抛物线
于点
,
(1)若抛物线上有一点
到焦点
的距离为
,求此时
的值;
(2)是否存在实数,使
是以
为直角顶点的直角三角形?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省六校高三第一次联考文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设,若
在
上不单调且仅在
处取得最大值,求
的取值范围.
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