Question

已知函数F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数
（1）若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范围
（2）设x₀是f（x）的零点，m，n∈（0，x₀），求证，

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）化简F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，求导F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；从而化函数F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数为F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；即a≥

lnx-1

x2

在（0，+∞）上恒成立；再构造函数g（x）=

lnx-1

x2

，从而利用导数求函数的最值可得；
（2）由题意可得当x∈（0，x₀）时，f（x）＜0；再由函数的单调性可得

f(m)

m

＜

f(m+n)

m+n

，

f(n)

n

＜

f(m+n)

m+n

；故

f(m)+f(n)

m+n

≤max{

f(m)

m

，

f(n)

n

}＜

f(m+n)

m+n

；从而化简证明．

解答： 解：（1）F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；
故使函数F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数可化为
F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax²≥0在（0，+∞）上恒成立；
即a≥

lnx-1

x2

在（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=

lnx-1

x2

，则g′（x）=

2lnx-3

x3

；
故x∈（0，e

3

2

）时，g′（x）＞0；
x∈（e

3

2

，+∞）时，g′（x）＜0；
故g（x）=

lnx-1

x2

在（0，e

3

2

）上是增函数，在（e

3

2

，+∞）上是减函数；
故g_max（x）=g（e

3

2

）=

1

2e3

；
故a≥

1

2e3

；
（2）证明：∵F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数，
又∵x₀是f（x）的零点；
∴当x∈（0，x₀）时，f（x）＜0；
∵

f(m)

m

＜

f(m+n)

m+n

，

f(n)

n

＜

f(m+n)

m+n

；
∴

f(m)+f(n)

m+n

≤max{

f(m)

m

，

f(n)

n

}＜

f(m+n)

m+n

；
∴f（m）+f（n）＜f（m+n）；
又∵f（m）+f（n）＜0；
∴

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了构造函数的应用，同时考查了不等式的性质应用，属于难题．