Question

14．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，侧棱PD⊥底面ABCD，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出$\frac{PB}{QB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由向量法得到AF∥BE，由此能证明BE∥平面PAD．
（II）假设线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，设$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$，由向量法能求出λ=3，由此得到线段PB上存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}=3$．

解答 （I）证明：以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，…1分
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）…2分
取PD中点F，连结AF，F（0，0，1），$\overrightarrow{AF}=（-1，0，1）$，…3分
$\overrightarrow{BE}=（-1，0，1）$，∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BE}$…4分
即AF∥BE…5分
而AF?平面PDA，且BE?平面PDA
∴BE∥平面PAD…6分
（II）解：假设线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，设$\frac{PB}{QB}=λ（λ＞0）$
设Q（x，y，z），则$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{QB}$，即（1，1，-2）=λ（1-x，1-y，-z）…8分
∴$x=1-\frac{1}{λ}，y=1-\frac{1}{λ}，z=\frac{2}{λ}$…9分
$\overrightarrow{DA}=（{1，0，0}），\overrightarrow{DQ}=（{x，y，z}），\overrightarrow{PC}=（{0，2，-2}）$
∵PC⊥平面ADQ，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC•}\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DQ}=2y-2z=0}\end{array}}\right.$，∴y=z，…10分
即$1-\frac{1}{λ}=\frac{2}{λ}$，∴λ=3
∴线段PB上存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ，且$\frac{PB}{QB}=3$．…13分．

点评 本题考查线面平行的证明，考查使得线面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．