Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。

（1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由；

（2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；

（3）已知函数与的图像有公共点，求证：为“1性质函数”。

 

Answer 1

【答案】

（1）不能为“k性质函数”

（2）

（3）见解析

【解析】（1）根据“性质函数”的概念，列出方程，利用判别式法判断即可；（2）根据“2性质函数”的概念，列出方程，利用判别式列出关于a的不等式，再利用不等式知识求解即可；（3）由已知条件构造方程，最后化为满足“1性质函数”的方程即可证明函数成立

解：

（1）若存在满足条件，则即，………………….   2分

，方程无实数根，与假设矛盾。不能为

“k性质函数”。                    …………………………….   4分

（2）由条件得：，………………….  5分

即（，化简得

，…………………………….    7分

当时，；…………………………….    8分

当时，由，

即，

。

综上，。……………………………. 10分

（3）由条件存在使，即。…………………….11分

,,

……………………………. 12分

,…………………………….    14分

令，

则，……………………….   15分

,为“1性质函数”。……….   16分