Question

已知二次函数f（x）的最小值为-1，且f（1）=0，f（3）=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）在[-1，4]上的单调区间与值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）判断对称轴与区间的位置关系，明确区间的单调性，求最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）为二次函数，f（1）=f（3）=0，
∴对称轴为x=2                           
∵二次函数f（x）的最小值为-1
∴设二次函数的解析式为：f（x）=a（x-2）²-1，a＞0…（1分）
∵f（1）=0，
∴a-1=0      即 a=1                  …（2分）
∴f（x）=（x-2）²-1=x²-4x+3
故a=1，b=-4，c=3                                   …（4分）
（Ⅱ）由（1）可得，函数的对称轴为x=2，并且a＞0，
所以f（x）的单调减区间为：[-1，2]，单调增区间为：[2，4]…（8分）
∴f（x）在x=2处取得最小值为-1…（9分）
而f（x）在x=-1处取得最大值为8                       …（10分）
故f（x）在[-1，4]上的值域为：[-1，8]…（12分）

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及闭区间的最值求法；明确对称轴与区间的位置关系，确定区间的单调性是解得的关键．