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给出下列命题:
(1)空间中点P的柱坐标为(2,
π
6
,1)
,则点P的直角坐标为(1,
3
,1)

(2)若曲线
x2
4+k
+
y2
1-k
=1表示双曲线,则k的取值范围是(1,+∞)∪(-∞,-4);
(3)已知A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
4
9
,则点M的轨迹方程为
x2
25
+
9y2
100
=1;
(4)已知双曲线方程为x2-
y2
2
=1,则过点P(1,1)可以作一条直线l与双曲线交于A,B两点,使点P是线段AB的中点.
其中正确命题的序号是
 
考点:命题的真假判断与应用
专题:综合题,简易逻辑
分析:对四个命题分别进行判断,即可得出结论.
解答: 解:(1)空间中点P的柱坐标为(2,
π
6
,1)
,则x=2cos
π
6
=
3
,y=2sin
π
6
=1,z=1,故不正确;
(2)曲线
x2
4+k
+
y2
1-k
=1表示双曲线,则(4+k)(1-k)<0,∴k的取值范围是(1,+∞)∪(-∞,-4),正确;
(3)已知A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
4
9
,则点M的轨迹方程为
x2
25
+
9y2
100
=1(x≠±5),故不正确;
(4)设过点P(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
①当k存在时,联立得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<
3
2

又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标,P是线段AB的中点,∴x1+x2=2,∴k=2 
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程无实数解
故过点P(1,1)与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在.
当x=1时,直线经过点P但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在 
故答案为:(2).
点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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1
24
B、
23
288
C、
27
288
D、
35
288

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23
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