Question

【题目】已知半径为2，圆心在直线y=x+2上的圆C．
（1）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；
（2）已知E（1，1），F（1，3），若圆C上存在点Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圆心横坐标a的取值范围．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵圆心在直线y=﹣x+2上，
∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，
∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，
∴有，解得a=2，
∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4；
（2）设Q（x，y），则由|QF|2﹣|QE|2=32得：（x﹣1）2+（y+3）2﹣[（x﹣1）2+（y﹣1）2]=32，即y=3，
∴Q在直线y=3上，
∵Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，
∴⊙C与直线y=3有交点，
∵⊙C的圆心纵坐标为﹣a+2，半径为2，
∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤﹣a+2≤5，
∴﹣3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是﹣3≤a≤1．
【解析】（1）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程；
（2）设Q（x，y），则由|QF|2﹣|QE|2=32得y=3，即Q在直线y=3上，根据Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，可得⊙C与直线y=3有交点，从而可求圆心的横坐标a的取值范围．