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    （2012•湖南模拟）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面为正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC．
    （1）证明：A1C丄平面BED；
    （2）求直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值．
    分析：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则
    A1C
    =(-2，2，-4)    ，
    DB
    =(2，2，0)    ，
    DE
    =(0，2，1)    ，由向量法能够证明A1C丄平面BED．
    （2）由
    A1E
    =(-2，2，-3)    ，
    A1D
    =(-2，0，-4)    ，求出平面A1DE的法向量
    n
    =(-4，-1，2)    ，取
    A1C
    =（-2，2，-4），
    设直线A1C与平面A1DE所成角为θ，由sinθ=|cos＜
    n
    ，
    A1C
    ＞|能求出直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值．
    解答：（1）证明：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
    则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
    ∴
    A1C
    =(-2，2，-4)    ，
    DB
    =(2，2，0)    ，
    DE
    =(0，2，1)    ，
    ∵
    A1C
    •
    DB
    =-2×2+2×2-4×0=0    ，
    A1C
    •
    DE
    =-2× 0+2×2-4×1=0    ，
    ∴
    A1C
    ⊥
    DB
    ，
    A1C
    ⊥
    DE
    ，
    ∴A1C丄平面BED．
    （2）解：∵
    A1E
    =(-2，2，-3)    ，
    A1D
    =(-2，0，-4)    ，
    设平面A1DE的法向量为
    n
    =(x，y，z)    ，
    ∵
    n
    •
    A1E
    =0    ，
    n
    •
    A1D
    =0    ，
    ∴
    -2x+2y-3z=0
    -2x-4z=0
    ，
    取
    n
    =(-4，-1，2)    ，
    A1C
    =（-2，2，-4），
    设直线A1C与平面A1DE所成角为θ，
    则sinθ=|cos＜
    n
    ，
    A1C
    ＞|=|
    8-2-8
    		21
    •
    		24
    |=
    		14
    42
    ，
    ∴直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值为
    		14
    42
    ．
    点评：本题考查直线与平面垂直的证明和求直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，合理地建立空间直角坐标系，注意向量法的灵活运用．
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    1
    2
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    （2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：φ′(
    x1+x2
    2
    )＞0    ．

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    m
    =(2cos2x，
    		3
    )，
    n
    =(1，sin2x)    ，函数f(x)=
    m
    •
    n
    ．
    （1）求函数f（x）的对称中心；
    （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
    		3
    ，且a＞b，求a，b的值．

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    1
    12
    x4-
    1
    6
    mx3-
    3
    2
    x2    ，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）

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    （2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
    -x-1(x＜-2)
    x+3(-2≤x≤
    1
    2
    )
    5x+1(x＞
    1
    2
    )
    （x∈R），
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
    （Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m2-1）x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

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    1
    2013
    1
    2013
    ．

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