Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，直线l的方程为y=kx-2．
（1）若直线l被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程；
（2）若直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）设直线l被圆C所截得弦长为L，将圆的方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，利用垂径定理及勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程；
（2）将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，由题意，直线y=kx-2上至少存在一点A（x₀，kx₀-2），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，可得出存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，AC_min即为点C到直线y=kx-2的距离，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的最大值．

解答：解：（1）设直线l被圆C所截得弦长为L，
圆C的方程可化为（x-4）²+y²=1，圆心为C（4，0），半径为r=1，
设圆心C到直线l的距离为d，则d=

|4k-2|

k2+1

，
由垂径定理可知，直线l被圆C所截得的弦长为L=2

r2-d2

，
故由题意，可得2

12-( |4k-2| k2+1 )2

=2，
化简得，k=

1

2

，
则直线l的方程为y=

1

2

x-2；
（2）∵圆C的方程可化为：（x-4）²+y²=1，
∴圆C的圆心为（4，0），半径为1．
∵由题意，直线y=kx-2上至少存在一点A（x₀，kx₀-2），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；
∴存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，
∵AC_min即为点C到直线y=kx-2的距离

|4k-2|

k2+1

，
∴

|4k-2|

k2+1

≤2，
解得：0≤k≤

4

3

，
∴k的最大值是

4

3

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，是一道综合性较强的试题．