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    （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，

    直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直

    线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；

    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积

    的最小值．

     

    【答案】

    （1）（2）（3）

    【解析】（1）

    相切

    ∴椭圆C1的方程是              …………3分

       （2）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，

        ∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线

    ∴点M的轨迹C2的方程为         …………3分

       （3）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，

    ，则直线AC的方程为

    联立

    所以

    ….8分

    由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得

    因为，所以四边形ABCD的面积为……..10分

    由

    所以时取等号．      …………11分

    易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积

    综上可得，四边形ABCD面积的最小值为       …………12分

     

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    （1）求椭圆的离心率

    （2）设Q是椭圆上任意一点，分别是左右焦点，求的取值范围

     

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