Question

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

3

a-2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：由

3

a-2csinA=0及正弦定理，可得

3

sinA-2sinCsinA=0（sinA≠0），可得C=

π

3

．利用余弦定理可得：a2+b2-2abcos

π

3

=4，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：由

3

a-2csinA=0及正弦定理，得

3

sinA-2sinCsinA=0（sinA≠0），
∴sinC=

3

2

，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=

π

3

．
∵c=2，C=

π

3

，
由余弦定理，a2+b2-2abcos

π

3

=4，
即a²+b²-ab=4，
∴（a+b）²=4+3ab≤4+3•(

a+b

2

)2，
化为（a+b）²≤16，
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，
故a+b的最大值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．