Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ+3sinθ）-m=0（其中m为常数）．
（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；
（2）若m=4，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）将直线的极坐标方程化为标准形式，将曲线C的参数方程化为普通方程，结合二次函数的性质求出m的值即可；
（2）将直线的极坐标方程化为标准形式，代入抛物线方程，即可求弦长．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程可化为直线坐标方程：4x+3y-m=0，
曲线C的参数方程可化为普通方程：y²=4x，
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²+3y-m=0，
因为直线l和曲线C恰好有一个公共点，
所以△=9+4m=0，所以$m=-\frac{9}{4}$；
（2）当m=4时，直线l：4x+3y-4=0恰好过抛物线的焦点F（1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得4x²-17x+4=0，
设直线l与抛物线C的两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{17}{4}$，
故直线l被抛物线C所截得的弦长为$\left|{AB}\right|={x_1}+{x_2}+2=\frac{17}{4}+2=\frac{25}{4}$．

点评 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．