Question

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn＝＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N*，证明：3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．

 

Answer 1

（1）an＝3n－2，bn＝4n－1（2）见解析

【解析】(1)∵6Sn＝＋3an＋2，①

∴6a1＝＋3a1＋2，解得a1＝1或a1＝2.

又6Sn－1＝＋3an－1＋2(n≥2)，②

由①－②，得6an＝(－)＋3(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.

∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．

当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2；

当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列，∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项3为公差的等差数列，{bn}是以1为首项4为公比的等比数列．

∴an＝3n－2，bn＝4n－1.

(2)由(1)得

Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③

∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41.④

由④－③，得

3Tn＝4n＋3×(4n－1＋4n－2＋…＋41)－(3n－2)＝4n＋12×－(3n－2)

＝2×4n－(3n＋1)－1＝2bn＋1－an＋1－1，

∴3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．