Question

1．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求角x的大小；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为-$\sqrt{2}$，此时2x+$\frac{π}{4}$=π，即x=$\frac{3π}{8}$．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得：cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$．
∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$），可得：2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$，
∴x=$\frac{5π}{24}$或$\frac{13π}{24}$．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，1]．
∴f（x）的最小值为-$\sqrt{2}$，此时2x+$\frac{π}{4}$=π，即x=$\frac{3π}{8}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查二倍角的正弦与余弦与余弦函数的单调性与最值，属于中档题．