Question

设点P为双曲线

x2

4

-y²=1右支上除顶点外的任意一点，F₁，F₂为其两焦点，则△F₁PF₂的内心M在（　　）

• A、直线x=2上
• B、直线x=1上
• C、直线y=2x上
• D、直线y=x上

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得|PD|=|PN|，|F₁N|=|F₁K|，|F₂K=|F₂D|，再结合双曲线的定义得|F₁K|-|F₂K|=2a，从而即可求得△PF₁F₂的内心M的横坐标．

解答： 解：如图△PF₁F₂的内切圆圆心为M，
边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为N、D、K，
易见K、M横坐标相等，
|PD|=|PN|，|F₁N|=|F₁K|，|F₂K=|F₂D|，
由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PN|+|NF₁|-（|PD|+|DF₂|）=2a，得|NF₁|-|DF₂|=2a即|F₁K|-|F₂K|=2a，
记M的横坐标为x₀，则K（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2a，
得x₀=a，而a=2，
故选A

点评：本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的应用及转化问题的能力，属于中档题．