Question

如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．

Answer 1

分析：设OA=OB=2，两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD．根据扇形面积公式和三角形面积公式算出S_弓形OMC=

π

4

-

1

2

，从而得到空白部分面积为S_空白=2，算出两块阴影部分面积之和为π．最后根据几何概型计算公式，将所得阴影部分面积除以扇形OAB的面积，即可得到所求概率．

解答：解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD
设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为
S_弓形OMC=S_扇形OCD-S_Rt△DCO=

1

4

•π•1²-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

可得空白部分面积为S_空白=2（S_半圆AO-2S_弓形OMC）=2[

1

2

•π•1²-（

π

2

-1）]=2
因此，两块阴影部分面积之和为
S_阴影=S_扇形OAB-S_空白=

1

4

π•2²-2=π-2
可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P=

S阴影

S扇形AOB

=

π-2

π

=1-

2

π

答：在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为1-

2

π

．

点评：本题给出扇形中的阴影部分，求相应的概率，着重考查了扇形面积公式、组合图形的面积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．