Question

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：作出图象，结合图象把问题转化为1＜

c

5-c

＜2，求

c

5+c

的取值范围．

解答：解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a₂，c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则

m+n=2a1 m-n=2a2 m=10 n=2c

?

a1=5+c a2=5-c

，
问题转化为已知1＜

c

5-c

＜2，求

c

5+c

的取值范围．
设

c

5-c

=x，则c=

5x

1+x

，

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
∵1＜x＜2，∴

1

2

-

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

-

1

10

，即

1

3

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

2

5

．
故答案为：（

1

3

，

2

5

）．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，作出图象，数形结合，事半功倍．