Question

已知曲线C上的动点M（x，y）满足到点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，4）的直线与曲线C交于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，证明：
（ⅰ）

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

；（ⅱ）点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线定义，很容易判断曲线C的轨迹为抛物线，再利用求抛物线方程的方法求出曲线C的方程．
（2）（ⅰ）要证

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

，只需用分析法逐步变形，寻找成立的充分条件即可，最后寻找到恒成立的条件．
（ⅱ）要证点Q总在某定直线上，只要找到一条直线，使其上面有点满足|

QB

|=|

AQ

|，即可．

解答：解：（1）依题意有

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
由显然x＞-2，得

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化简得y²=4x；                              
（2）证明：（ⅰ）|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|?

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=

| PQ |-| PA |

| PB |-| PQ |

?|AP|•|PB|-|

AP

|•|

PQ

|=|

PB

|•|

PQ

|-|

PB

|•|

PA

|?2|

AP

|•|

PB

|=|

PB

|•|

PQ

|+|

AP

|•|

PQ

|
?

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

（ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），不妨设点A在点P与点B之间，点Q（x，y），
依（ⅰ）有

2

2-x

=

1

2-x1

+

1

2-x2

=

4-(x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1•x2

*，
又可设过点P（2，4）的直线方程为y=k（x-2）+4，
得

y=k(x-2)+4 y2=4x

?k2x2+(8k-4k2-4)x+4k2-16k+16，x₁+x₂=

4k2-8k+4

k2

，x1•x2=

4k2-16k+16

k2

，代入上*式得

2

2-x

=

4- 4k2-8k+4 k2

4-2• 4k2-8k+4 k2 + 4k2-16k+16 k2

=

8k-4

8

=

2k-1

2

，
又k=

4-y

2-x

，得x-2y+2=0，
当直线AB的斜率不存在时，也满足上式．即点Q总过直线x-2y+2=0，得证．

点评：本题考查了定义法求轨迹方程，以及分析法证明不等式，做题时要认真分析，找到各知识点之间的联系．