Question

已知函数f（x）=

1

2

x²和g（x）=4-x，
（Ⅰ）解关于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）和y=g（x）围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），根据绝对值的意义分类讨论将绝对值去掉，求出不等式组的解集．
（II）联立两个函数，求出它们的交点，将去边图形的面积用定积分表示，利用微积分基本定理求出面积．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x，
∴要解的不等式可化为|x|+|x-4|＞6，
∴

x≥4 x+x-4＞6

或

0≤x＜4 x+4-x＞6

或

x＜0 -x+4-x＞6

，
∴x＞5或x＜-1，
∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（Ⅱ）由

y= 1 2 x2 y=4-x

消去y得：x²+2x-8=0解得x₁=2和x₂=-4
∴所求图形的面积S=

∫

2 -4

[(4-x)-

1

2

x2]dx=(4x-

1

2

x2-

1

6

x3)

|

2 -4

=18．

点评：本题考查解绝对值不等式常利用绝对值的意义分段讨论将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式、考查利用定积分求曲边图形的面积．