Question

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

OM

=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)．

Answer 1

分析：（1）用向量的加法求出

EG

=

EF

+

EH

，即可证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量表示

EH

=

1

2

BD

，就证明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交点，利用

EH

=

1

2

BD

推出EG、FH交于一点M且被M平分，然后推出

OM

=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)．

解答：证明：（1）连接BG，则

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

(

BC

+

BD

)=

EB

+

BF

+

EH

=

EF

+

EH

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中

1

2

BD

=

EH

）
（2）因为

EH

=

AH

-

AE

= 

1

2

AD

-

1

2

AB

 =

1

2

(

AD

-

AB

)=

1

2

BD

．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知

EH

=

1

2

BD

，同理

FG

=

1

2

BD

，所以

EH

=

FG

，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，
所以

OM

=

1

2

(

OE

+

OG

)=

1

2

[

1

2

(

OA

+

OB

)+

1

2

(

OC

+

OD

)]
=

1

4

(

OA

+

OB

+

OC

+

OD

)

点评：本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，共线向量与共面向量，考查运算能力，是中档题．