【题目】已知函数(其中
,
为自然对数的底数,
…).
(1)若函数仅有一个极值点,求
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有两个零点
,
,且
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,转化不等式,再通过
与
的大小讨论即可求
的取值范围;(2)通过
的范围及
的零点个数,即可确定函数恒成立的条件,通过构造函数的方法,转化成利用导函数求恒成立问题.
试题解析:(1),
由得到
或
(*)
由于仅有一个极值点,
关于的方程(*)必无解,
①当时,(*)无解,符合题意,
②当时,由(*)得
,故由
得
,
由于这两种情况都有,当时,
,于是
为减函数,当
时,
,于是
为增函数,∴仅
为
的极值点,综上可得
的取值范围是
;
(2)由(1)当时,
为
的极小值点,
又∵对于
恒成立,
对于
恒成立,
对于
恒成立,
∴当时,
有一个零点
,当
时,
有另一个零点
,
即,
且,(#)
所以,
下面再证明,即证
,
由得
,
由于为减函数,
于是只需证明,
也就是证明,
,
借助(#)代换可得,
令,
则,
∵为
的减函数,且
,
∴在
恒成立,
于是为
的减函数,即
,
∴,这就证明了
,综上所述,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】经研究,城市公交车的数量太多容易造成资源浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位: )作为样本分成5组如下表:
组别 | 侯车时间 | 人数 |
一 | 2 | |
二 | 6 | |
三 | 2 | |
四 | 2 | |
五 | 3 |
(1)估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数;
(2)若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)的定义域为R,f(1)=3,对任意x∈R,f′(x)<2,则f(x)<2x+1的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(﹣1,1)
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞,+∞)
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【题目】在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.标准差
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【题目】某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2x
B.
C.
D.y=0.2+log16x
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