Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²-bc，
（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后把所求的式子利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，将sinA的值代入即可求出值；
（II）首先根据条件得出

AE

=

1

2

（

AB

+

AC

）进而得出

AE

=

1

4

（4-3bc），然后根据均值不等式得出bc≤1，即可求出结果．

解答：解：（I）∵b²+c²=a²-bc，∴a²=b²+c²+bc，
结合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=-

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

2π

3

∴B+C=

π

3

∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin

π

3

=

3

2

；
（II）根据题意知

AE

=

1

2

（

AB

+

AC

）
∴

AE

²=

1

4

（

AB

²+

AC

²+2

AB

•

AC

）
∴

AE

=

1

4

[c²+b²+2bc×（-

1

2

）]=

1

4

[（c+b）²-3bc]=

1

4

（4-3bc）
∵

bc

≤

b+c

2

=1
∴bc≤1（当且仅当b=c=1时等号成立）
∴（

AE

²）_min=

1

4

（4-3）=

1

4

∴|

AE

^|_min=

1

2

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．