Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=，求c_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（），求++…+的值．

Answer 1

（1）解：记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n
令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n
两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴S_n=（9ⁿ-1）（4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式
∴a_n=4×9^n-1（n∈N） （6分）
（2）解：f（n）==
注意到f（n）+f（1-n）=+=+= （8分）
c_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（），
可改写为c_n=f（）+f（）+…+f（）+f（0）
∴2c_n=[f（0）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+[f（）+f（0）]
故c_n=，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）= （8分）
∴==36×（-）
++…+
=36×[（-）+（-）+…+（-） （12分）
=36×（-）]=18-（14分）
分析：（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用赋值可分别令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），从而可求
（2）由（1）可得 ，注意到f（n）+f（1-n）=，从而可考虑利用倒序相加求和，再利用裂项法可求++…+的值
点评：本题以数列为载体，主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数，及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用．