Question

(2009山东卷文)（本小题满分14分）

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;   

（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

Answer 1

解:（1）因为,,,

所以,    即.   

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知,  即    ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由（2）知得,

即有唯一解

则△=,    即,     ②

由①②得,   此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点,   

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.