Question

【选修4-1：几何证明选讲】
已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：FA∥BE；
（2）求证：

AP

PC

=

FA

AB

；
（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形中等边对等角得到∠OAF=∠F，由同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠F，从而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．
（2）根据弦切角定理得∠PAC=∠F，从而证出△APC∽△FAC，利用对应边成比例及AB=AC，证出

PA

FA

=

PC

AB

，再根据比例的性质整理可得

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）根据切割线定理，结合题中数据可得CP（CP+PF）=AC²=4，由此解出CP=

5

-1（舍负）．再由FP为⊙O的直径得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函数的定义，结合（2）中的结论即可算出tan∠PFA的值．

解答：解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得

PA

FA

=

PC

AC

∵AB=AC，
∴

PA

FA

=

PC

AB

，变形整理可得

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP²+2CP-4=0，解之得CP=-1±

5

∵CP＞0，∴CP=

5

-1．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
 由（2）中的结论，得

PA

FA

=

PC

AC

，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=

PA

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．

点评：本题着重考查了等腰三角形的性质、两条直线平行的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质、直径所对的圆周角和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．