Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
（1）求四面体ABOC的体积．
（2）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算

AB

AQ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知易得OC⊥平面OAB，即OC为四面体C-AOB底面AOB上的高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）要计算

AB

AQ

的值，我们可在平面OAB内作ON⊥AB交AB于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出

AB

AQ

的值．

解答：解：（1）∵在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=0．OA，OB?平面OAB，
∴OC⊥平面OAB，
即OC为四面体C-AOB底面AOB上的高，
又∵∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
∴S_△OAB=

1

2

•OA•OB•sin∠AOB=

3

4

故四面体ABOC的体积V=

1

3

OC•S_△OAB=

3

12

（2）在平面OAB内作ON⊥AB交AB于N，连接NC．
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC
∵NC?平面ONC，
∴OA⊥NC．
取Q为AN的中点，则PQ∥NC．
∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∠OAN=30°，
∴ON=

1

2

AN=AQ
在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
∴NB=ON=AQ．
∴

AB

AQ

=3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，线段长度（空间两点之间的距离），（1）的关键是证出OC⊥平面OAB，而（2）的关键是根据等腰三角形三线合一得到ON=

1

2

AN=AQ．