Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1 ， 点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N* ．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设 ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），

两式相减得an+1﹣an=2an，

an+1=3an（n≥2）．

又a2=2S1+1=3，

所以a2=3a1．

故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．

所以an=3n﹣1．

由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．

则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

则bn=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：因为 ，所以 ．

则 ，

两式相减得： ．

所以 =

【解析】（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，不难判断出{an}是首项为1，公比为3的等比数列且an=3n﹣1，根据点在直线上，代入直线方程可得bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列bn=2n﹣1，（2）由（1）中的通项公式表示出cn，使用错位相减即可得出Tn.
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的定义的相关知识点，需要掌握通项公式：或；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列才能正确解答此题．