Question

14．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的两个焦点，P为椭圆上一点，且△PF₁F₂是直角三角形，且S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，则a=2．

Answer 1

分析 分类讨论，利用S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，得到a．

解答 解：由题意，c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，
①若PF₁⊥x轴时，取P（-c，$\frac{3}{a}$），S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•2\sqrt{{a}^{2}-3}•\frac{3}{a}$=$\frac{3}{2}$，∴a=2
同理，PF₂⊥x轴时，a=2；
②∠F₁PF₂=90°，设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则t₁+t₂=2a①，t₁²+t₂²=4a²-12②，
由①²-②得t₁t₂=12，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=6，不符合题意．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，考查计算能力．