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在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题;
(2)判断逆命题是否为真?并给出证明.
分析:(1)根据逆命题的要求直接写出逆命题即可.
(2)根据逆命题的条件推出公比q的值,然后验证结论是否成立.
解答:解:(1)在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)数列{an}的首项为a1,公比为q.由题意知:2am+2=am+am+1
即2•a1•qm+1=a1•qm-1+a1•qm∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-
1
2

当q=1时,有Sm=ma1,Sm+2=(m+2)a1,Sm+1=(m+1)a1
显然:2Sm+2≠Sm+Sm+1.此时逆命题为假.
q=-
1
2
时,有2Sm+2=
2a1(1-(-
1
2
)
m+2
)
1+
1
2
=
4
3
a1[1-(-
1
2
)
m+2
]
Sm+Sm+1=
a1(1-(-
1
2
)
m
)
1+
1
2
+
2a1(1-(-
1
2
)
m+
)
1+
1
2
=
4
3
a1[1-(-
1
2
)
m+2
]

∴2Sm+2=Sm+Sm+1,此时逆命题为真.
点评:本题是中档题,考查数列的基本知识,命题与逆命题的关系,考查计算能力,常考题型.
练习册系列答案
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在等比数列{an}中,a4=
2
3
 , a3+a5=
20
9

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公比大于1,且bn=log3
an
2
,求数列{bn}的前n项和Sn

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在等比数列{an}中,若a1=1,公比q=2,则a12+a22+…+an2=(  )
A、(2n-1)2
B、
1
3
(2n-1)
C、4n-1
D、
1
3
(4n-1)

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1
an
}
的前n项和为Sn,则S5=(  )

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81
81

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