分析 根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,根据立方差公式分解因式,并配方便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=({x}_{1}-{x}_{2})[({x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2})^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$,这样便可证明y1<y2,从而得出原函数在R上单调递增.
解答 证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则:
${y}_{1}-{y}_{2}={{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$=$({x}_{1}-{x}_{2})({{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2})$=$({x}_{1}-{x}_{2})[({x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2})^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$;
∵x1<x2;
∴x1-x2<0,$({x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2})^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}>0$;
∴y1<y2;
∴原函数在R上是单调递增函数.
点评 考查增函数的定义,以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较y1,y2,以及立方差公式和配方法的运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {0} | B. | {-1,0,1} | C. | {-1,1} | D. | {0,1} |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}+ln3$ | B. | 4-ln3 | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | $\frac{11}{6}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0<λ1<λ2 | B. | 0<λ2<λ1 | C. | λ1<λ2<0 | D. | λ2<λ1<0 |
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