Question

16．已知a≥2${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$sinxdx，曲线f（x）=ax+$\frac{1}{a}$ln（ax+1）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 运用定积分公式，计算可得a≥1，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合对勾函数的单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：由2${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$sinxdx=2•（-cosx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{3}}$=-2（cos$\frac{π}{3}$-cos0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
即有a≥1，
f（x）=ax+$\frac{1}{a}$ln（ax+1）的导数为f′（x）=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{a}{ax+1}$
=a+$\frac{1}{ax+1}$，
可得k=a+$\frac{1}{a+1}$，
由a+1≥2，可得k=（a+1）+$\frac{1}{a+1}$-1≥2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
即有a=1时，k取得最小值$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查定积分的运算，以及函数的单调性的运用：求最值，属于中档题．