Question

（2013•佛山一模）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且AD=

1

3

DB，点C为圆O上一点，且BC=

3

AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC=

3

AC算出∠ABC=30°，进而得到BC=2

3

．△BCD中用余弦定理算出CD长，从而CD²+DB²=BC²，可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；
（2）根据（1）中计算的结果，利用锥体体积公式算出VP-BDC=

3 3

2

，而V_P-BDC=V_D-PDC，由此设点D到平面PBC的距离为d，可得

1

3

S△PBC•d=

3 3

2

，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．

解答：解：（1）∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
∵Rt△ABC中，由

3

AC=BC，∴tan∠ABC=

AC

BC

=

3

3

，∠ABC=30°，
∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，BC=2

3

，
由余弦定理，得△BCD中，CD²=DB²+BC²-2DB•BCcos30°=3，
∴CD²+DB²=12=BC²，可得CD⊥AO．-----------------（3分）
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，
又∵CD?平面ABC，∴PD⊥CD，-----------------（5分）
∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．-----------------（6分）
（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，CD=BCsin30°=

3

，--------（7分）
∴VP-BDC=

1

3

S△BDC•PD=

1

3

•

1

2

DB•DC•PD=

1

3

×

1

2

×3×

3

×3=

3 3

2

．--------（10分）
又∵PB=

PD2+DB2

=3

2

，PC=

PD2+DC2

=2

3

，BC=

DB2+DC2

=2

3

，
∴△PBC为等腰三角形，可得S△PBC=

1

2

×3

2

×

12- 9 2

=

3 15

2

．--------（12分）
设点D到平面PBC的距离为d，由V_P-BDC=V_D-PBC，得

1

3

S△PBC•d=

3 3

2

，解之得d=

3 5

5

．--------（14分）

点评：本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识，属于中档题．