Question

3．如图用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩，其中甲的一次成绩模糊不清，用x标记．
（1）若甲、乙这4次的平均成绩相同，确定甲、乙中谁的成绩更稳定，并说明理由；
（2）若甲这4次获得的最高分正好是班上第一名（满分100，且分数为整数），且班上这次数学的第二名是91分，求甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率．

Answer 1

分析 （1）由甲、乙这4次的平均成绩相同，先求出x=3和平均数，然后求出甲、乙的方差，由此得到乙的成绩更稳定．
（2）由已知得x的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，再由甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分，得到x的可能取值为4，5，6，7，8，9，由此能求出甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率．

解答 解：（1）∵甲、乙这4次的平均成绩相同，
∴90+x+81+82+84=90+80+85+85，
解得x=3，
∴平均数为$\overline{x}$=$\frac{1}{4}（90+80+85+85）=85$，
∴甲的方差${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（93-85）²+（81-85）²+（82-85）²+（84-85）²]=22.5；

乙的方差${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[（90-85）²+（80-85）²+（85-85）²+（85-85）²]=12.5．
∵甲、乙的平均成绩相同，乙的方差小于甲的方差，
∴乙的成绩更稳定．
（2）由（1）知乙的平均分是85分，x=3时，甲的平均分是85，
∵甲这4次获得的最高分正好是班上第一名（满分100，且分数为整数），且班上这次数学的第二名是91分，
∴x的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，共8个，
∵甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分，
∴x的可能取值为4，5，6，7，8，9，共6个，
∴甲这4次成绩的平均分高于乙这4次成绩的平均分的概率：
p=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查甲、乙两人谁的成绩更稳定的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．