Question

已知数列{a_n}满足：a1=2，an+1=2(1+

1

n

)2•an．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=(An2+Bn+C)•2n(A，B，C为常数)．若对一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n恒成立．求A、B、C的值；
（3）求证：a1+a2+a3+

…+an

+6≥2n+2．

Answer 1

分析：（1）确定数列{

an

n2

}是首项为2，公比为2的等比数列，由此可知数列{a_n}的通项公式；
（2）由题题意知若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此能解出A=1，B=-4，C=6；
（3）利用数学归纳法进行证明．

解答：（1）解：∵an+1=2(1+

1

n

)2•an
∴

an+1

(n+1)2

=2×

an

n2

∵a₁=2，∴数列{

an

n2

}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ•n²；
（2）解：因为b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，则An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
所以

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，解出A=1，B=-4，C=6；
（3）证明：n=1时，2+6=2³，结论成立；
假设n=k时，结论成立，即a1+a2+a3+

…+ak

+6≥2k+2
则n=k+1时，左边=a1+a2+a3+

…+ak+1

+6≥2k+2+2k+1•(k+1)2＞2^k+2+2^k+2=2^k+3，即结论成立
综上，a1+a2+a3+

…+an

+6≥2n+2．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查等比数列的证明，考查不等式的证明，综合性强．