Question

【题目】设外接圆上三段弧的中点依次为,其关于的对称点依次为.若顶点与对应旁切圆切点的连线交于一点 (界心),为的垂心，证明：在以为直径的圆上.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

记的三边长为,,为的内心.

先证明一个引理.

引理 顶点与界心连线平行且等于2倍内心与其对应边中点的连线.

证明:如图,设为的内心,为的中点,为切点,为对应角平分线的交点,为旁切圆的切点,为界心,为与内切圆的交点.

对与截线应用梅涅劳斯定理得.

将,,,代入上式化简得

因为为的中点,为切点,为旁切圆的切点,所以,.

由位似变换,知为的中点.

故.

回到原题.如图,延长与的延长线交于点.

由引理,知，且所以,为的中点.

又点与关于对称,于是.由对角线互柑平分的性质,知四边形为平行四边形.

因此, .

延长与外接圆交于点,联结.

因为为垂心,关于的对称点在外接圆上,所以,.

于是,.则.

从而,四边形为平行四边形.

又为外接圆的直径,故.易知, .

所以, ,

同理, ,.故本题得证.