【答案】
分析：（Ⅰ）根据题意△a
n=a
n+1-a
n=（n+1）
2-（n+1）-n
2+n=5n-4，所以△a
n+1-△a
n=6．由此能够证明{△a
n}是等差数列；
（Ⅱ）由△
2 a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，知△a
n-a
n=2
n．由此入手能够求出数列{a
n}的通项公式，从而求数列{b
n}的通项公式；
（Ⅲ）由a
n=n•2
n-1，c
n=
=
=
，当n≥2，n∈N
*时，
，从而可证．
解答：解：（Ⅰ）根据题意：△a
n=a
n+1-a
n=3（n+1）
2-5（n+1）-3n
2+5n=6n-2．（2分）
∴△a
n+1-△a
n=6
∴数列{△a
n}是首项为4，公差为6的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△
2a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，∴△a
n+1-△a
n-△a
n+1+a
n=-2
n，⇒△a
n-a
n=2
n．
而△a
n=a
n+1-a
n，∴a
n+1-2a
n=2
n，（5分）
∴
-
=
，即b
n+1-b
n=
，（6分）
∴数列{b
n}构成以
为首项，
为公差的等差数列，即b
n=
．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
=
，则a
n=n•2
n-1，
∴c=
=
=
（9分）
∴当n≥2，n∈N*时
=
=
（
-
），
∴c
1+
++
=1+
[（
-
）+（
-
）+（
-
）++（
-
）+（
-
）]
=1+
（
+
-
-
）＜1+
（
+
）=
．
当n=1时，c
1=1＜
，显然成立
∴c
1+
++
＜
．（12分）
点评：第（Ⅰ）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（Ⅲ）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
，求数列{bn}的通项公式；
，求证：c1+
+…+
＜
．
n2-
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
，求证：b1+
+…+
＜
．
为{an}的k阶差分数列，其中
，且
。
的首项
，且满足
，求数列
及
的通项公式； 
是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由。 