Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形（侧棱垂直于底面的三棱柱叫做直三棱柱），，A₁C₁=1，，D是线段A₁B₁的中点．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）证明：B₁C∥平面A C₁D；
（3）求棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的两部分的体积之比．

Answer 1

解：（1）∵△A₁B₁C₁是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°且D是线段A₁B₁的中点
∴C₁D⊥A₁B₁
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA
又∵平面A₁B₁C₁与平面A₁B₁BA的交线为A₁B₁
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA …（3分）
又C₁D?平面AC₁D …（4分），
∴平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA …（5分）
（2）连接A₁C，交AC₁于M，连接DM，则
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是矩形 …（6分）
∴M是A₁C的中点，
∴△A₁B₁C中，DM是中位线，可得DM∥B₁C …（7分）
又DM?平面AC₁D B₁C?平面AC₁D …（8分）
∴B₁C∥平面AC₁D …（9分）
（3）由（1）得，在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=1，D为A₁B₁中点
∴S_△A1C1D=S_△A1B1C1=（）= …（11分）
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁
∴是三棱锥A-A₁C₁D的高，也是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高 …（12分）
∴== …（13分）
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的两部分的体积之比为…（14分）
分析：（1）在等腰Rt△A₁B₁C₁中利用三线合一，证出C₁D⊥A₁B₁，再根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，结合面面垂直的性质，得到C₁D⊥平面A₁B₁BA，最后利用线面垂直的判定，可得平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）利用三角形的中位线定理得到DM∥B₁C，再结合线面平行的判定定理可得到B₁C∥平面A C₁D；
（3）利用棱柱ABC-A₁B₁C₁与三棱锥A-A₁C₁D有相同的高，结合Rt△A₁B₁C₁中S_△A1C1D=S_△A1B1C1，不难算出三棱锥A-A₁C₁D与棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比为，从而得到棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的两部分的体积之比．
点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，要我们证明线面平行和面面垂直，并求体积的比，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明，属于中档题．