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【题目】如图,在四棱锥中,四边形为边长为2的菱形,的中点,

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)连接,交于点,连接,然后利用中位线定理和线面平行的判定定理证明即可;

(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,先求出点坐标,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后利用空间向量的夹角公式求解.

解:(Ⅰ)证明:连接,交于点,连接,则,因为平面平面

所以平面

(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,

则易知,设,

因为,所以,

,解得,即

因为

设平面的一个法向量为,

,取,则,

所以平面的一个法向量为

设直线与平面所成的角为

【名师指导】

本题考查空间中直线与平面的平行关系、直线与平面所成角、空间法向量的应用.求空间角,常常建立空间直角坐标系,用空间向量法计算,可减少逻辑思维量,但对计算能力要求较高.

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