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    已知向量
    a
    =（1，cosα），
    b
    =（1，sinβ），
    c
    =（3，1），且（
    a
    +
    b
    ）∥
    c
    ．
    （1）若α=
    π
    3
    ，求cos2β的值；
    （2）证明：不存在角α，使得等式|
    a
    +
    c
    |=|
    a
    -
    c
    |成立；
    （3）求
    b
    •
    c
    -
    a
    2的最小值．
    ∵
    a
    +
    b
    =(2，cosα+sinβ)    ，
    c
    =（3，1），且（
    a
    +
    b
    ）∥
    c
    ．∴
    cosα+sinβ=
    2
    3
    ， 
    …（3分）
    （1）∵α=
    π
    3
    ，∴cosα=
    1
    2
    ，∴sinβ=
    1
    6
    ，∴
    cos2β=1-2sin2β=
    17
    18
    ． 
    …（6分）
    （2）假设存在角α使得等式成立则有
    a
    2    +2
    a
    •
    c
    +
    c
    2    =
    a
    2    -2
    a
    •
    c
    +
    c
    2
    ∴
    a
    •
    c
    =0
    ，∴cosα=-3，不成立，∴不存在角α使得等式成立．…（11分）
    （3）∵
    cosα+sinβ=
    2
    3
    ， 
    ∴sinβ=
    2
    3
    -cosα∈[-1，1]    ，
    b
    •
    c
    -
    a
    2    =2+sinβ-cos2α=-cos2β-cosα+
    8
    3
    =-(cosα+
    1
    2
    )    2    +
    35
    12

    ∴-
    1
    3
    ≤cosα≤
    5
    3
    ，又-1≤cosα≤1，∴-
    1
    3
    ≤cosα≤1    ，…（13分）
    ∴当cosα=1时，ymin=
    2
    3
    ．    …（16分）
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，2），
    b
    =（2，-3）．若向量
    c
    满足（
    c
    +
    a
    ）∥
    b
    ，
    c
    ⊥（
    a
    +
    b
    ），则
    c
    =（　　）
    A、（
    7
    9
    ，
    7
    3
    ）
    B、（-
    7
    3
    ，-
    7
    9
    ）
    C、（
    7
    3
    ，
    7
    9
    ）
    D、（-
    7
    9
    ，-
    7
    3
    ）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，3），
    b
    =（-2，-6），|
    c
    |=
    		10
    ，若（
    a
    +
    b
    ）•
    c
    =5，则
    a
    与
    c
    的夹角为（　　）
    A、30°B、60°
    C、120°D、150°

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题：
    （1）函数f（x）=cos4x-sin4x的最小正周期是π；
    （2）已知向量
    a
    =(λ，1)    ，
    b
    =(-1，λ2)    ，
    c
    =(-1，1)    ，则(
    a
    +
    b
    )∥
    c
    的充要条件是λ=-1；
    （3）若
    ∫
    a
    1
    1
    x
    dx=1，(a＞1)    ，则a=e．
    其中所有的真命题是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（1，1），
    b
    =（1，-1），
    c
    =（-1，2），则向量
    c
    等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    有下列五个命题：
    ①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题．
    ②在平面内，F1、F2是定点，丨F1F2丨=6，动点M满足丨MF1丨-丨MF2丨=4，则点M的轨迹是双曲线．
    ③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
    ④“若-3＜m＜5，则方程
    x2
    5-m
    +
    y2
    m+3
    =1是椭圆”．
    ⑤已知向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    是空间的一个基底，则向量
    a
    +
    b
    ，
    a
    -
    b
    ，
    c
    也是空间的一个基底．
    ⑥椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
    其中真命题的序号是
    ①③⑤⑥
    ①③⑤⑥
    ．

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