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已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,BC=3,BC⊥面ABC1,CC1与面ABC所成的角为60°则斜三棱柱ABC-A1B1C1体积的最小值是
9
3
9
3
分析:在平面ABC1内,过C1作C1H⊥AB于H,连接HC,可得C1H⊥平面ABC,即∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角,由已知中侧棱与底面成60°角,故可得当CH=BC时,棱柱的体积取最小值,求出棱柱的底面积和高,代入棱柱体积公式即可得到答案.
解答:解:∵AC⊥平面ABC1,BC?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ABC1
在平面ABC1内,过C1作C1H⊥AB于H,则C1H⊥平面ABC
连接HC,则∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角,∴∠C1CH=60°,C1H=CH•tan60°=
3
CH
V棱柱=S△ABC•C1H=
1
2
AB×AC×C1H=
1
2
×3×2×
3
CH=3
3
CH
∵CB⊥AB,∴CH≥CB=3,
∴棱柱体积最小值3
3
×3=9
3

故答案为:9
3
点评:本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的体积,空间线面关系,属于中档题.
练习册系列答案
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π3
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(I)求证:AC1⊥AlC; 
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C的余弦值.

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